Μαθηματική Ανάλυση I

#1
Πλήρης Τίτλος: Μαθηματική Ανάλυση Ι - Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής

Συνοπτική περιγραφή μαθήματος
Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός πραγματικών συναρτήσεων μίας πραγματικής μεταβλητής. Ειδικότερα μελετώνται οι ακολουθίες και οι σειρές πραγματικών αριθμών και δίνονται τα κύρια θεωρήματα για τη συνέχεια και την παραγώγιση συναρτήσεων (κανόνας αλυσίδας, θεώρημα ενδιάμεσης τιμής, θεωρήματα μέσης τιμής, τύπος του Taylor).
Επίσης εισάγονται οι στοιχειώδεις πραγματικές συναρτήσεις (εκθετική, λογαριθμική, τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους, υπερβολικές συναρτήσεις)
και μελετώνται οι αναλυτικές ιδιότητές τους. Ακόμα μελετώνται οι δυναμοσειρές και τα αναπτύγματα Taylor και Maclaurin. Δίνονται οι κύριες τεχνικές ολοκλήρωσης
με εφαρμογές στους υπολογισμούς εμβαδών, όγκων, μηκών, ροπών αδρανείας κλπ. Τέλος εισάγεται το γενικευμένο ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης και δίνονται τακυριότερα κριτήρια σύγκλισης με εφαρμογές (συναρτήσεις Βήτα και Γάμμα).

Το μάθημα της Μαθηματικής Ανάλυσης Ι μαζί με το μάθημα "Γραμμική Άλγεβρα" αποτελούσαν, μέχρι και το ακαδημαϊκό έτος 2012-2013, ενιαίο μάθημα υπό τον τίτλο "Μαθηματικά Ι".

Διδάσκοντες
I. Γάσπαρης - email: ioagaspa@math.ntua.gr
Β. Κανελλόπουλος - email: bkanel@math.ntua.gr

Παλαιότεροι διδάσκοντες
  • Κ. Αρβανιτάκης (έως 2012-13)

Οργάνωση διδασκαλίας
Θεωρία: 4 ώρες εβδομαδιαίως
Η διδασκαλία γίνεται σε 2 χωρισμένα αλφαβητικά τμήματα από το ακαδημαϊκό έτος 2015-16.

Ύλη
Σύγκλιση ακολουθιών πραγματικών αριθμών, ακολουθίες Cauchy, πληρότητα, Θεώρημα Bolzano-Weierstrass. Σειρές πραγματικών αριθμών, σύγκλιση σειρών, ειδικά κριτήρια σύγκλισης (γεωμετρική σειρά, τηλεσκοπικές σειρές, κριτήρια λόγου- ρίζας, κριτήρια σύγκρισης και οριακής σύγκρισης, κριτήριο Leibnitz, ολοκληρωτικό κριτήριο). Απόλυτη σύγκλιση. Δυναμοσειρές, ακτίνα σύγκλισης δυναμοσειράς. Εφαρμογές.
Πραγματικές συναρτήσεις μίας πραγματικής μεταβλητής. Σημεία συσσώρευσης υποσυνόλων της πραγματικής ευθείας. Όρια συναρτήσεων. Συνεχείς συναρτήσεις. Παράγωγος συνάρτησης, βασικές ιδιότητες, κανόνες παραγώγισης, κανόνας αλυσίδας, παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης. Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού. Εφαρμογές στη μελέτη της μονοτονίας και στήν εύρεση ακρότατων τιμών συναρτήσεων. Η παράγωγος βασικών συναρτήσεων (εκθετική, λογαριθμική, τριγωνομετρικές, υπερβολικές, αντίστροφες τριγωνομετρικές). Κανόνας L’Hopital. Tύπος του Taylor. Παραγώγιση δυναμοσειράς. Εφαρμογές.
Το αόριστο ολοκλήρωμα. Μέθοδος ολοκλήρωσης κατά παράγοντες. Ολοκλήρωση με αντικατάσταση. Ειδικές τεχνικές ολοκλήρωσης (ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων-ανάλυση σε απλά κλάσματα, αναγωγή σε ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων μέσω ρητών, τριγωνομετρικών, ή, υπερβολικών αντικαταστάσεων). Εφαρμογές.
Το ορισμένο ολοκλήρωμα. Αθροίσματα Riemann. Το θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού. Αλλαγή μεταβλητής. Πολικές συντεταγμένες. Εφαρμογές στήν Γεωμετρία, στήν Φυσική και τη Μηχανική (υπολογισμός εμβαδών επίπεδων χωρίων, μήκους καμπυλών, όγκου στερεών εκ περιστροφής, εμβαδών επιφανειών εκ περιστροφής). Ολοκληρωτική μορφή υπολοίπου τύπου Taylor. Ολοκλήρωση δυναμοσειρών. Ανάπτυγματα συνάρτησης σε δυναμοσειρές Taylor, Mac Laurin. Γενικευμένα ολοκληρώματα.Σύγκλιση γενικευμένου ολοκληρώματος. Κριτήρια σύγκρισης και οριακής σύγκρισης. Συνάρτηση Γάμμα. Εφαρμογές.

Aξιολόγηση - Βαθμολογία
Η τελική εξέταση γίνεται με κλειστά βιβλία και ο βαθμός εξαρτάται εξ ολοκλήρου από την εξέταση. Υπάρχει εντός του εξαμήνου η δυνατότητα παράδοσης σειράς ασκήσεων.


Συγγράμματα από το σύστημα του Ευδόξου


Τελευταία ενημέρωση: 27/9/2015

Τελευταία επεξεργασία από KiritoShu σε Παρ 30 Σεπ 2016, 2:00 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.

Υλικό

#2

Αρχεία για τα οποία δεν δίνεται link υπάρχουν στο επόμενο post (scroll down a bit...).


Θεωρία

Εξετάσεις

Αρχεία

#3
Τα παρακάτω αρχεία είχαν ανέβει στο παλιό σύστημα της "Βιβλιοθήκης" και έχουν ήδη αναφερθεί στο "Υλικό"
Δεν έχετε τα απαραίτητα δικαιώματα για να δείτε τα συνημμένα αρχεία σε αυτήν τη δημοσίευση.
Κλειδωμένο

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης